BLOQUE 1: ARITMETICA Y ALGEBRA

¿Que es la Aritmetica?

La Aritmetica es una rama de las matematicas que se encarga de estudiar las estrucutras númericas elementales, asi como las propiedades de las operaciones y los números en si mismos en su concepto mas profundo, construyendo lo que se conoce como teoria de números.

Para ti es mas sencillo encontrar la aritmetica dentro de tu vida cuando:

• vas a la tienda a comprar algo, y te ves en la necesidad de calcular por medio de una resta, el cambio que dara el tendero.
• cuando estas a punto de a abordar el servicio publico y cuantas rapidamente la cantidad de dinero necesaria para pagar el valor del pasaje.
• tambien cuando haces la cuenta o inventario de tus cosas.

¿Que es el algebra?

El algebra es una rama de las matematicas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritmeticas y lo números para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos analogos. esta rama se caracteriza por hacer implicitas las incognitas dentro de la misma operación; ecuación algebraica.

Etimologicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala )??? (yebr) ( al-dejaber ), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

Historia del álgebra

El álgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el teorema de pitagoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofante. Arquímedes se basó en las matemáticas en su tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento, como principales trabajos tenemos al análisis diofántico y la obra de Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra hasta ese entonces.

Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos matemáticos y sus extensiones,y parte de lageometría, la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hiperbola,círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal.

El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de las matemticas como la lógica ( álgebra de Boole), el análisis y la topología.

                                               NUMEROS RACIONALES

Definición de números racionales

Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.

Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.

Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra Q, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números Q.

Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son:

Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.

Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas.

A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…

Propiedades de los números racionales

Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:

Entre las propiedades de la suma y resta están:

Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
necesitara.

ab+cd=ef

Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:

(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)

Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:

ab+cd=cd+ab

Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.

ab+0=ab

Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.

ab−ab=0

Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:

Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.

ab×cd=ef

Esta además aplica con la división

ab÷cd=ef

Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.

(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)

Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.

ab×cd=cd×ab

Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:

ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef

Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

ab×1=ab 

 ab÷1=ab

Ejemplos de números racionales

Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí un ejemplo

57

Aunque también podría ser expresado de esta manera:

5/7

Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo:

3=31

Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos la misma respuesta:

155=3

También encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo:

−6=−61

0,2424242424… también puede ser tomado como un número racional, pues sus decimales son periódicos, y podemos expresarlo en forma de fracción, así:

2499

¿Que son los Numeros Enteros?

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:

• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5. 

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sinembargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

Suma de Numeros Enteros

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:

• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos:
• 7 + 11 = 18
• -7 - 11 = -18
• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:
• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
• -7 + 5 = - (7 - 5) = -2
• 14 + (-14) = 0

La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,
a + (-a) = 0

Multiplicacion de Numeros Enteros

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo:

+ · + = +
+ · - = -
- · + = -
- · - = + 

La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a · b = b · a
Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,
a · 1 = a
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c

Resta de Numeros Enteros

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:

a - b = a + (-b) 

Por ejemplo:

5 - (-3) = 5 + 3 = 8
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7

¿Que son los Numeros Naturales?

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto

Propiedades de la adicion de Numeros Naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

1.- Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

2.-Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

3.- Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicacion de Numeros Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

2.- Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo:

5 · 8 = 8 · 5 = 40

3.-Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo:

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la Sustraccion de Numeros Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Propiedades de la Division de Numeros Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

                                           NUMEORS PRIMOS

 Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números primos.

    Ejemplos: a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7·1.
                    b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5. (y también como 15·1)

    El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del latín "primus" que significa primero (protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos. Por eso se les considera los "primeros", porque a partir de ellos obtenemostodos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5)

    Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos menores que 100.

                  PROPIEDADES DE LOS NUMEROS PRIMOS

..

1.- Si m = m.c.m(a,b) y d = m.c.d.(a,b), se cumple md = ± ab. 

2.- Hay infinitos números primos. 

3.- Todo a ∈ Z - {-1,0,1} es producto de números primos. 

4.- La descomposición de un entero en números primos es única salvo el orden de 

los factores y signos de los factores primos. 

Las propiedades (3 y 4) definen el teorema fundamental de la aritmética.

# Demostración: 

) 1.- Pongamos que 

a = d a’, b = d b’. donde d = m. c. d . (a,b). 

Se trata de ver que 

 m = ± d a’b’ es un mínimo común múltiplo de a y b. 

Donde 

 m. c. d. (a ' , b ' ) = 1 

Es evidente, que d a’b’ es mínimo común múltiplo de a y b. Pues, si n ∈ N es 

otro múltiplo común de a y b, existirán r, s ∈ N, tal que 

n = ar = bs. 

Y entonces 

 a’d r = b’d s. 

Y simplificando se obtiene a’r = b’s con a’ y b’ primos entre sí. 

Y como por el teorema de Euclides, a´ divide a s, es decir s = a’ h, y por tanto 

será n = b s = d b’ a ’h. 

Y resultaría que n es múltiplo de m(m es el m.c.m.), en contra de los supuesto. 

) 2.- Si suponemos que el conjunto de los números primos de Z sea finito, 

denominando a dicho conjunto: 

P = { p 1 , p 2 , . . . , p m } 

Si suponemos, que no existe ningún número primo mayor. 

Tomamos: 

 a = p 1 . p 2 . . . . . p m + 1 

que lógicamente cumple 

a = p 1 . p 2 . . . . . p m + 1 > p 1 . p 2 . . . . . p m . 

¿Que son los Numeros Fraccionarios?

Los Numeros Fracciónarios , son el cociente indicado

a/b

de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser b ≠ 0.

Por ejemplo, en la fracción 3/5 el denominador, 5, indica que son “quintas partes”, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: “tres quintas partes”.

Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero:

14/2=7; -15/3=-5; 352/11= 32

Equivalencia

Dos fracciones a/b y a'/b' son equivalentes, y se expresa

a/b = a'/b'

si a · b′ = b · a′.

Así,

21/28= 9/12

porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.

Simplificacion

Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido:

a/b=a.d'/b.d'=a'/b'

Por ejemplo:
120/90= 12/9

La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus términos por 10

Fraccion Irreducible

Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí.

La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:

12/= 4/3

Reduccion a comun denominador

Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador.

Por ejemplo, para reducira común denominador las fracciones

2/3, 4/9 y 3/5

se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene:
2/3=60/90, 4/9=40/90, 3/5=54/90

Es decir,

es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90.

Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene

30/45, 20/45, 27/445

que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador.

Suma de Fracciones

Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo:

2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45

Producto de Fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:

a/b * c/d = a*c/b*d

Inversa de una Fraccion

La inversa de una fracción a/b es otra fracción,b/a , que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1:

a/b * b/a=a*b/b*a=1/1=1 

Cociente de Fraccion

El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:

a/b : p/q , a/b*q/p, a*q

Definición de números irracionales

¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que sonnúmeros que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número

2√

, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.

Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.

Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales.

Notación de los números irracionales

La representación gráfica de los números irracionales se la hace con la letra I mayúscula. Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los números imaginarios, cuya representación es la i minúscula. Pero el símbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir una estructura algebraica, y para no crear confusión, en ocasiones se los puede ver como R/Q como la representación de números irracionales por definición.

Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología, estos casos serán tratados posteriormente.

Propiedades de los números irracionales

Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:

Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.

Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).

Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional. Sin embargo la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación.

Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.

La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.

Clasificación de los números irracionales

Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, estos son:

Número algebraico.- se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc.

Número trascendente.- este es un número irracional que no puede ser representado a través de un número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, etcétera. Aunque también pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón determinado, podemos decir que son decimales infinitos.

Este último tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificación porque no tienen una representación con un número radical.

BLOQUE 2: MAGNITUDES Y NUMEROS REALES    

MAGNITUD

La magnitud es una propiedad que poseen los fenómenos o las relaciones entre ellos, que permite que puedan ser medidos (expresados por números reales no negativos y usando la unidad pertinente). Dicha medida, representada por una cantidad. Por ejemplo: la temperatura, entre muchas otras, es magnitud.

Una magnitud es el resultado de una medición; las magnitudes matemáticas tienen definiciones abstractas, mientras que las magnitudes físicas se miden con instrumentos apropiados.

                                                                          ¿QUE ES UNA TASA?

Una tasa es una relación entre dos magnitudes. Se trata de un coeficiente que expresa la relación existente entre una cantidad y la frecuencia de un fenómeno. De esta forma, la tasa permite expresar la existencia de una situación que no puede ser medida o calculada de forma directa.

La tasa de desempleo, por ejemplo, calcula el número de desempleados a partir de la población económicamente activa (aquellas personas que están en condiciones de formar parte del mercado laboral). En una región donde viven 1.000 personas, si la tasa de desempleo es del 10%, no quiere decir que hay 100 desocupados, ya que si tan solo 500 de ellas son económicamente activas, el resultado revelar[ia que el número de personas sin empleo es 50.

Tasas unitarias                                                                                                                                                                                                                                                                     Una tasa es una razón que se utiliza para comparar diferentes clases de cantidades.                                                                                                                           Una tasa unitaria describe cuantas unidades de medida del primer tipo corresponden a una unidad de medida del segundo tipo.                                Algunas tasas unitarias comunes son las millas (o kilómetros) por hora, costo por producto, ganancias por semana, etc. En cada caso la primera cantidad se relaciona con 1 unidad de la segunda cantidad.  ejemplo:

 si por ejemplo en un año académico tenemos 85 alumnos y aprueban 65 la tasa sería de 

65/85 = 0.7647 , es decir un 76.47% de aprobados al año.

                                       ¿Que es Razon y Proporcion?

Proporción, en aritmética y geometría, relación especial entre un grupo de números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee “12 es a 3 como 8 es a 2”. En una proporción válida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios); la regla de tres aritmética está basada directamente en esta propiedad. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero. La proporción continua es la propiedad de cada tres términos consecutivos o equidistantes de una progresión geométrica; por ejemplo, en la secuencia 2, 4, 8, 16, 32 ..., 2:4::4:8 y 4:8::8:16.

En la antigua Grecia, la teoría de números no era adecuada para describir aritméticamente las magnitudes geométricas. Por tanto, el astrónomo y matemático griego Eudoxo propuso una teoría separada para la proporción geométrica en el siglo IV a. C. Una descripción detallada de esta teoría, escrita por el matemático griego Euclides, se puede encontrar en los libros quinto y sexto de los Elementos de geometría.

Una proporción es la igualdad entre 2 razones (fracciones) ej. 3/5 = 12/20 que también se puede expresar 3:5 = 12:20, donde 3 y 20 reciben el nombre de extremos 5 y 12 reciben el nombre de medios.
los principios (propiedades) de las proporciones son:
1 En cualquier proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
2. si el producto de dos números es igual al producto de otros dos, cualquier par puede ocupar los medios de una proporción y el otro par ocupará los extremos
3. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si se invierten el númerador y el denominador de cada una de las fracciones.
4. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si se intercambian los medios o se intercambian los extremos.
5. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si en cada fracción al numerador se le suma el denominador de la fracción
6. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si en cada fracción al numerador se le resta el denominador de la fracción
7. Si tres términos de una proporción son iguales a tres términos de otra porporción elcuarto término de la primera es igual al cuarto término de la segunda
8. En una serie de razones (fracciones) iguales, si se suman respectivamente los númeradores y denominadores de dos o más de estas razones, la nueva razón obtenida es igual a cualquiera de las razones inicialmente iguales


                                         BLOQUE 3: SUMAS Y SUCECIONES DE NUMEROS 1

ORIENTACIÓN TEÓRICA

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES E INVERSAMENTE PROPORCIONALES

• Magnitudes Directamente Proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al cambiar el valor de una de las magnitudes,los valores de la otra también cambian en la misma proporción. Es decir, si duplicamos el valor de la magnitud independiente, también causamos el mismo efecto en la magnitud dependiente.

Al realizar la grafica cartesiana de la magnitud directamente proporcional se obtiene una línea rectaque pasa por el origen, el cociente entre los valores de las magnitudes es siempre constante y recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

• Magnitudes Inversamente Proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales, cuando el valor de la magnitud independiente es creciente, el valor de la magnitud dependiente es decreciente en la misma magnitud. El producto de dos magnitudes inversas es constante.

x . y = cte

RELACIÓN LINEAL ENTRE DOS VARIABLES

Se presenta una relación lineal entre dos variables cuando al graficarlas, la unión de los puntos determinados por estas, tanto en el eje “x” como en el eje “y” forman una línea

recta. Lo cual nos representa que existe una relación directamente proporcional en donde “y” es dependiente de la variable “x”.

El modelo matemático que describe una relación lineal cuando se estima el valor de y en función de x esta dada así:

= bx + c o  = Bx + c ó  = ß1x + ß0

En las anteriores ecuaciones encontramos que:

 es la variable que se va a estimar en función de otra variable (x) que se supone conocida. Se le denomina también como variable dependiente, explicada o predictando.

X es la variable cuyo valor supuestamente se conoce. Se le denomina variable independiente, predictor o explicativa.

b = B = ß1 es la pendiente o sea la que determina el ángulo de inclinación de la recta. Denominada como coeficiente angular, cuantificado la cantidad que aumenta o decrece por cada unidad que aumente o disminuya la variable independiente x o explicativa.

El coeficiente angular puede ser representado así:

Figura 1. Representación del coeficiente angular o pendiente

Si b es un valor mayor que cero, es decir positivo, nos indicara que la recta es ascendente; si b es menor que cero la recta será descendente y si b es igual a cero será una paralela al eje horizontal.

A = C = a = ß0 corresponde al coeficiente de posición u origen en la ordenada. Es un punto en ele eje de la ordenada, factor constante que se incluye en la ecuación, siendo igual a cuando x = 0. el coeficiente posición puede ser mayor, menor o igual a cero.

Figura 2. Ubicación del coeficiente de posición

En el primer caso será un punto por encima del origen, en el segundo pasara por el origen y en el tercero estará por debajo del origen.

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL 1

Cuando realizamos experimentos y diferentes observaciones, hacemos uso de la tabulación de una función, que es la representación en forma de tabla de sus respectivos valores funcionales. (Cuadro 1)

Cuadro 1. Valores funcionales.

Valores de X	X1	X2	X3	...	Xn
Valores de Y	Y1	Y2	Y3	...	Yn

Se determina el valor de la fx que es el mismo valor de x, el cual está formado por parejas de valores (x1, y1); (x2 y2), cada una de estas parejas pertenece a un punto en particular del plano cartesiano R2, y por lo tanto el conjunto de todas las parejas dadas, forman una representación gráfica en el plano.

Al darles diferentes valores a x (variable independiente) podemos obtener los valores correspondientes de y (variable dependiente). Representando los valores de x como abscisas y los de y como ordenadas, obtendremos una serie de puntos que forman la gráfica. (Figura 3).

y Punto 1

0 x

Punto 2 Figura 3.

Por lo tanto para obtener la gráfica de una función de primer grado solo se deben determinar dos puntos, y luego unirlos por medio de una línea recta.

                       BLOQUE 4 TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS                                                     
 Las transformaciones algebráicas se refieren a todo tipo de operaciones que involucran expresiones algebraicas.

Polinomio

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En matemáticas , se le llama polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es un producto de un coeficiente y una variable elevado a un número natural, que se llama el exponente del monomio.
Ejemplos de monomios son . El siguiente ejemplo describe en detalle las partes de un monomio. Si consideramos el monomio:

es un monomio con coeficiente 6, variable x y exponente 5. Por tanto, el grado de este monomio es 5.
El grado de un monomio es su exponente. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. En el polinomio, existe el término independiente, que es un monomio que no tiene parte literal o variable, es decir, que no tiene variables o letras que lo acompañen. Algunos ejemplos:

P(x) = 2, polinomio de grado cero.

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 2x²+ 3x + 2, polinomio de grado dos.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como . En particular los números (o elementos del anillo ) son polinomios de grado cero.

Para a₀, …, a_n constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como  o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero, para n > 0, entonces un polinomio, P, de grado n en la variable x es un objeto de la forma

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.

 Polinomios de varias variables

Los polinomios de varias variables son similares a los de una variable. La diferencia es que en ellos cada uno de los monomios puede contener más de una letra de variable. Por ejemplo:

Son monomios de varias variables. Más en detalle el último de ellos  es un momonio de tres variables (ya que en él aparecen tres letras x, y y z), el coeficientes es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1, ya que xy²z = x¹y²z¹.

Operaciones con polinomios

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por los términos del otro polinomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente. Por ejemplo:

Para poder realizar eficazmente la operación tienes que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios  y  y el polinomio producto :

(*)

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que  (junto con la operación ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.